Sommaire

• Ondelettes
• Ondelettes croisées
• Analyse en ondelettes et Fonctions Orthogonales Empiriques (EOF) complexes

Ondelettes

L’analyse en ondelettes est la pierre angulaire du traitement des données satellitaires. Les informations obtenues peuvent être livrées de manière très synthétique, ce qui facilite d’autant l’interprétation des mesures. Bien que peu utilisée par la communauté des océanologues et des climatologues, la technique des ondelettes permet une analyse de ces phénomènes en fréquence et en temps. Au 19^ème siècle et jusqu’à un passé récent, l’analyse de Fourier était la seule technique permettant la décomposition d’un signal et sa reconstruction sans perte d’information; malheureusement elle fournit une analyse en fréquence mais ne permet pas la localisation temporelle de changements abrupts, comme par exemple l’apparition d’une deuxième note de musique après qu’une première note ait été jouée.

Ainsi, cette technique rend compte de l’évolution d’un phénomène en fonction de la périodicité (ou de la fréquence) observée, comme les ingénieurs du son ont l’habitude de le faire. Elle est relativement récente puisque, telle qu’on l’utilise aujourd’hui, elle fut introduite par Jean Morlet et Alex Grossmann en 1984. Elle fait toujours l’objet de recherches académiques publiées dans le «Journal of Wavelet Theory and Applications », revue qui reste toutefois ouverte aux applications.

Les ondelettes, développées initialement pour l’analyse des signaux sismiques, sont adaptées aux signaux pseudopériodiques comme la hauteur de la surface de l’océan, la vitesse des courants de surface ou la température de surface. Ces signaux présentent généralement une largeur de bande ΔT importante, comparée à la période moyenne T, ce qui leur confère une variabilité temporelle importante. Aussi dans ce cas l’analyse temporelle des signaux, en plus de leur analyse en fréquence, peut faire ressortir des changements de régime ou de comportement au cours du temps.

Ondelettes croisées

Toutefois dans le cas qui nous préoccupe nous ferons une utilisation restrictive des ondelettes en nous limitant à l’expression de l’amplitude et de la phase des anomalies observées. En effet, qu’il s’agisse des mesures altimétriques, de vitesse des courants ou de la température de surface des océans, seuls les écarts par rapport aux valeurs moyennes des différents signaux importent. On parle généralement d’anomalies, quelle que soit l’amplitude de l’écart. Si T est la période moyenne et ΔT la largeur de bande, l’ondelette est moyennée dans la bande T-ΔT/2, T+ΔT/2 pour rendre compte du phénomène de manière représentative au cours du cycle (dans la bande de fréquence pertinente).

Lorsqu’elle est croisée l’ondelette est exprimée par rapport à un signal de référence utilisé comme base de temps, celui-ci devant présenter les mêmes périodicités que le signal analysé. Si nous nous intéressons à la hauteur de la surface des océans, le signal altimétrique, qui dépend de la longitude x et de la latitude y, peut être comparé à un même signal mesuré à un endroit particulier à la longitude x0 et la latitude y0 ou à tout indicateur tel que le SOI ou la NAO, ou bien encore à un signal sinusoïdal quand il s’agit de représenter les solutions des équations du mouvement.

En plus de la représentation de l’amplitude des anomalies, l’ondelette croisée détermine leur phase. Celle-ci peut être exprimée soit par rapport au signal de référence, soit en temps calendrier. Dans le premier cas c’est le temps écoulé entre les moments où l’anomalie altimétrique (à la longitude x et la latitude y), et le signal de référence atteignent leur maximum respectif, dans la bande T-ΔT/2, T+ΔT/2. Dans le second cas c’est la date à laquelle le maximum de l’anomalie altimétrique est atteint au cours du cycle.

Par construction, si une anomalie positive est atteinte au temps t, une anomalie négative symétrique apparaîtra au temps t+T/2 (décalage d’une demi-période).

Mais le principal atout des ondelettes croisées est l’exactitude avec laquelle elles permettent d’estimer les anomalies altimétriques et de vitesse de courant, l’erreur obtenue étant d’environ 0,001 m dans le premier cas et 0,003 m/s dans le second. L’erreur sur la phase est à peu près d’un mois pour les anomalies les plus significatives, ce qui correspond au taux d’échantillonnage des données (un pas mensuel est utilisé). Aussi l’information spatiale et temporelle est riche, même recueillie de données bruitées (subissant des variations erratiques).

Analyse en ondelettes et Fonctions Orthogonales Empiriques (EOF) complexes

L’analyse en ondelettes est préférable à l’analyse EOF complexe pour étudier la résonance des ondes longues dans les océans. Si les deux méthodes sont similaires pour les analyses traditionnelles dans le domaine fréquentiel, c’est-à-dire les analyses spectrale de puissance et de cohérence, l’analyse EOF du domaine temporel, qui consiste essentiellement en un calcul du vecteur propre et de la valeur propre d’une matrice de corrélation ou de variance-covariance calculée à partir d’un groupe de séries temporelles originales données, est très différente de l’analyse en ondelettes, qui est bien adaptée à la mise en évidence du décalage entre les séries temporelles quand celui-ci varie de façon continue. Appliquée aux données de température de surface de la mer, de hauteur de la surface de la mer et de la vitesse du courant de surface, l’analyse en ondelettes met en évidence la propagation des ondes ainsi que leur variabilité d’un cycle à l’autre.

Glossaire

Largeur de bande d’un phénomène quasi périodique de période T

Si T représente la période moyenne du phénomène quasi périodique, la largeur de bande ΔT indique les bornes entre lesquelles la période varie, c’est à dire T – ΔT/2 et T+ ΔT/2.

SOI (Southern Oscillation Index)

Le SOI est l’amplitude de l’Oscillation australe ; c’est une mesure de la variation mensuelle de la différence de pression atmosphérique de surface normalisée entre Tahiti et Darwin (Australie).

NAO (North Atlantic Oscillation)

L’oscillation nord-atlantique désigne un phénomène touchant le système climatique du nord de l’Océan Atlantique. Elle décrit les variations du régime océan-atmosphère sur la région et se mesure comme la différence de pression atmosphérique entre l’anticyclone des Açores et la dépression d’Islande.